BARISAN DAN DERET

A) barisan dan deret aritmatika

Barisan dan deret ini tidak bisa dipisahkan karena memiliki keterkaitan satu sama lainnya. Sederhananya, barisan artimetika adalah bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Sementara itu, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika.

Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika, berasal dari bahasa Yunani αριθμός – arithmos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata “aritmetika” sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan. Silakan lihat angka untuk mengetahui lebih dalam tentang teori bilangan.

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

a+b

a+2b

a+3b

Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yaitu b. Misalnya:

Un – U(n-1) = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmetika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Sementara itu, deret aritmetika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmetika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmetika tersebut bisa dihitung sebagai:

Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)

atau

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Apabila yang diketahui hanya nilai a, suku pertama serta nilainya merupakan suku ke-n, jadi nilai deret aritmetikanya adalah:

Sn = n/2(a + Un)

1. Beda : Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal b adalah beda antar suku, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut b = an - an - 1

2. Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil.

Rumus barisan aritmatika

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmetika, yakni:

Ut = ½ (a + Un)

Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda

Rumus derer aritmatika

Untuk lebih jelasnya, berikut rumus deret aritmetika, yakni:

Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)

Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:

Un = Sn – Sn-1

Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda

Contoh soal barisan dan deret aritmatika

Soal 1
Suatu bentuk deret aritmetika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

Diketahui:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Jawaban:
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 x 100 = 500
Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmetika tersebut, yakni 500.

Soal 2
Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:

Beda deret aritmetika tersebut.
Tuliskan deret aritmetika tersebut.
Jumlah enam suku pertama dari deret aritmetika tersebut.

Jawaban:

Beda deret aritmetika tersebut, yaitu:
Un = a+(n-1)b
U6= a+(6-1) b
20= 10+(5)b
b= 10/5 = 2
Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 2.

Deret aritmetikanya, yaitu:
10+12+14+16+18+20+…+Un

Jumlah suku keenam, S6 adalah:
Sn =n/2 (2a+(n-1) b)
S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)
=3(20+10)
=90
Jadi, jumlah suku keenam deret tersebut adalah 90.

Soal 3
Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Diketahui:
a = 7
b = -2

Jawaban:
Un = a + (n – 1)b
U40 = 7 + (40-1)(-2)
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmetika tersebut adalah –71.

B) barisan dan deret geometri

Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Contohnya seperti pada pembelahan amoeba, di mana satu amoeba akan membelah diri menjadi dua, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat, dan seterusnya. Jika dinyatakan sebagai barisan geometri, akan menjadi 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 4, 8, …, n disebut sebagai suku atau penyusun barisan. Secara matematis, suku dilambangkan sebagai U_n (suku ke-n). Sementara itu, nilai perbandingan antara U_n+1 dan U_n disebut sebagai rasio. Secara matematis, rasio dilambangkan sebagai r. nilai rasio tidak selalu r > 1, ya. Jika nilai sukunya semakin mengecil, sudah pasti rentang rasionya r < 1. Suku pertama (U₁) pada barisan geometri dilambangkan sebagai a.

Rumus barisan geometri

Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.

Dengan ketentuan:

U_n= suku ke-n;

a = suku ke-1 atau U₁;

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus deret geometri untuk r > 1

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

S_n = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U₁;

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus deret geometri untuk r <1

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

S_n = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U₁;

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah jumlah barisan geometri yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus mengecil. Secara matematis, rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah sebagai berikut.

Contoh deret geometri tak hingga konvergen adalah saat kamu menjatuhkan bola dari ketinggian tertentu. Semakin lama, ketinggian bola akan berkurang hingga kemudian berhenti.

Rumus deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar, sehingga deret geometri tak hingga divergen adalah jumlah barisan yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus membesar. Oleh karena nilainya yang terus membesar tanpa ada batas tertentu, maka rumus deret geometri tak hingga divergen tidak bisa ditentukan karena S_∞ = ∞.

Contoh Soal Barisan Geometri

Diketahui suatu deret geometri berikut.

Berapakah nilai suku ke-15?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio dari barisan pada soal.

Dengan demikian, suku ke-15 bisa dicari dengan rumus berikut.

Jadi, suku ke-10 nilainya adalah x16.384.

Contoh Soal Deret Geometri

Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?

Pembahasan:

Diketahui:

U₁ = a = 3 cm

U₅ = 243

Ditanya: S_n =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut.

Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.

Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.

C) bunga, penyusutan, pertumbuhan dan peluruhan

r = 2 %

t = 4 bulan

Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:

$B=M_0\times t \times r$

$B=Rp.\, 800.000\times 1 \times 2%$

$B=Rp.\, 16.000$

dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;

$M_t=M_0(1+t \times r)$

$M_4= Rp.\,800.000(1+4 \times2%)$

$M_4= Rp.\,800.000(1,08)$

$M_4= Rp.\,864.000$

Bunga majemuk

Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.

Misalkan, Modal Sejumlah M₀, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:

$M_1=M_0 +M_0\times i =M_0(1+i)$

$M_2=M_1 (1+i)=[M_0(1+i)](1+i)=M_0(1+i)^2$

$M_3=M_2 (1+i)=[M_0(1+i)^t+1](1+i)=M_0(1+i)^3$

$.$

$M_t=M_t-1(1+i)=[M_0(1+i)^t+1](1+i)=M_0(1+i)^t$

Sehingga, rumus untuk besar modal pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;

$M_t=M_0(1+i)^t$

keterangan;

M_t = modal pada akhir periode – t

M₀ = modal awal

i = tingkat suku bunga

t = periode

Contoh soal

Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?

Jawab:

M₀ = Rp. 6.000.000

i = 3% = 0,03

t = 12 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:

$M_t=M_0(1+i)^t$

$M_1_2=Rp.\,6.000.000(1+0,03)^1^2$

$M_1_2=Rp.\,6.000.000(1,42576)$

$M_1_2=Rp.\,8.554.560$

geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

$P_n=P_0(1-n_b)$

Rumus peluruhan eksponensial;

$P_n=P_0(1-b)^n$

Keterangan;

P_n = nilai besaran setelah n periode

P₀ = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P₀ = 100 gram

b = 3% = 0,03

$n=\frac{24}{4}=6$